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Les Nombres Complexes

- Les nombres complexes sont tous les nombres tel que z = a + ib avec a et b ∈ ℝ et i²=-1 - On dit que a +ib est la forme algébrique - On a z = a +ib : a est la partie réelle b est la partie imaginaire Exemple : z = 2i-4 -4 est la partie réelle 2 est la partie imaginaire - On note ℂ l'ensemble des nombres complexes - On peut interpréter la géométriquement la forme algébrique de tout nombre complexe dans un repère orthonormé (O,I,J) le nombre complexe a + ib est représenté par son point M (a,b) On dit que a +ib est l'affixe du point M, ou du vecteur OM
Soit z = a +ib On appelle module de z, le nombre |z| ou parfois r et défini par |z| = √(a² + b²) Si z est non nul, on appelle argument de z, qu'on note arg(z), toute mesure de l'angle (OI,OM) où M est le point d'affixe z
Tout nombre non nul z peut s'écrire sous la forme |z|(cosθ + i sin θ) On dit que z est sous forme trigonométrique On a le même nombre complexe écrit sous deux formes : z = a + ib z = |z|(cosθ + i sin θ) On a alors : a = |z|cos(θ) b = |z|sin(θ) |z| = √(a²+b²) cos θ = a/|z| sin θ = b/|z|
Pour tout réel θ, on appelle exponentielle complexe d'argument θ cosθ + i sin θ, noté eiθ En particulier, le module de eiθ est 1 et un de ses arguments est θ
Tout nombre complexe non nul de module |z| et d'argument arg(z) peut s'écrire sous la forme eiθ
On admet les exponentielles complexes sont similaires à celles des exponentielles réelles.
Avec θ et Θ des réels et n entier naturel 1) eiθ × eiΘ = ei(θiΘ) 2) eiθ / eiΘ = ei(θ-Θ) 3) (eiθ)n = einθ
Formules d'addition : Pour tous réels θ et Θ : cos(θ+Θ)= cos(θ) * cos(Θ) - sin(θ) * sin(Θ) "Les 2 cos - les 2 sin" sin(θ+Θ)= sin(θ) * cos(Θ) + cos(Θ) * sin(Θ) "Cos sin + cos sin" Remarques : Si Θ = θ : cos(2θ)= cos²θ - sin²θ sin(2θ)= 2sin(θ)*cos(θ) Formules de duplication : cos(2θ) = cos²θ - sin²θ cos(2θ) = 2cos²θ - 1 sin(2θ) = 2sinθ cosθ cos(2θ) = 1 - sin²θ
Une transformation du plan associe un point M à un un point M'. Soit M d'affize z et M' d'affixe z' dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'origine 0. L'expression de cette transformation est alors la fonction f de ₵ dans L'expression de cette transformation est alors la fonction f de ₵ dans ₵ telle que f(z) = z'.
Soit u un vecteur et M et M' deux points d'affixe z et z'. On dit que M' est l'image de M par la translation de vecteur u à MM' = u
Transformation du plan Expression complexe Illustration
Translation de vecteur u d'affixe b M(z)-> M'(z') f(z)=z+b *vecteur*
Soit a un réel non nul et M et M' deux points. On dit que M' est l'image de M par l'homothétie de centre 0 et de rapport a si OM' = OM × a
Transformation du plan Expression complexe Illustration
Homothétie de centre O et de rapport a M(z) -> M'(z) f(z)=z × a *vecteur*
Soit θ un nombre réel non nul et M et M' deux points d'affixe z et z' dans un plan (θ,i,j) orthonormé avec M ≠ 0 et M' ≠ 0. On dit que M' est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle θ si OM = OM' et l'angle (OM;OM') = θ[2π]
Transformation du plan Expression complexe Illustration
Rotation de centre 0 et d'angle θ. M(z) -> M(z') eiθ× z *vecteur*